Dérivée d'une composée de fonctions (cas des fonctions sinusoïdales)

Théorème

Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Alors la fonction composée \(\boxed{g : x \mapsto {f}(\color{blue}{a}x+b)}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\) :\(\boxed{g'(x)=\color{blue}{a}{f'}(\color{blue}{a}x+b)}\).

Propriétés Cas particuliers des fonctions sinusoïdales

Soit \(\omega\) et \(\varphi\) deux réels.

• La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t)=\color{red}{\cos}\left(\color{blue}{\omega} t + \varphi \right)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(t\), \(f'(t)=\color{red}{-}\color{blue}{\omega}\color{red}{\sin}\left(\color{blue}{\omega} t + \varphi \right)\).
  
• La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=\color{red}{\sin}\left(\color{blue}{\omega} t + \varphi \right)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(t\), \(g'(t)=\color{blue}{\omega}\color{red}{\cos}\left(\color{blue}{\omega} t + \varphi \right)\).
  

Exemples

• Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t)=\color{red}{\cos}\left(\color{blue}{3}t+\dfrac{\pi}{3}\right)\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(t\), \(f'(t)=\color{red}{-}\color{blue}{3}\color{red}{\sin}\left(\color{blue}{3}t+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
  
•  Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=\color{red}{\sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\color{blue}{-2}t\right)\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(t\), \(g'(t)=\color{blue}{-2}\color{red}{\cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\color{blue}{-2}t\right)\).
  
• Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(t)=-7\color{red}{\cos}\left(\color{blue}{5}t+\dfrac{\pi}{6}\right)\). \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(t\), \(h'(t)=-7 \times(\color{red}{-}\color{blue}{5})\color{red}{\sin}\left(\color{blue}{5}t+\dfrac{\pi}{6}\right)\), soit \(h'(t)=35 \,{\sin}\left(5t+\dfrac{\pi}{6}\right)\).